解题思路:先令cosx=t,转化为关于t的一元二次函数;通过讨论对称轴和去件的位置关系找到最小值f(a);再结合
f(a)=
1
2
即可求出a的值并求出y的最大值.
令cosx=t,t∈[-1,1],
则y=2t2-2at-(2a+1),对称轴t=
a
2,
当[a/2<−1,即a<-2时,[-1,1]是函数y的递增区间,ymin=1≠
1
2];
当[a/2>1,即a>2时,[-1,1]是函数y的递减区间,ymin=−4a+1=
1
2],
得a=
1
8,与a>2矛盾;
当−1≤
a
2≤1,即-2≤a≤2时,ymin=−
a2
2−2a−1=
1
2,a2+4a+3=0
得a=-1,或a=-3,
∴a=-1,
此时ymax=-4a+1=5.
点评:
本题考点: 二次函数的性质;余弦函数的定义域和值域.
考点点评: 本题主要考查二次函数在闭区间上的最值讨论问题.解决问题的关键在于讨论对称轴和区间的位置关系.