解题思路：这道题主要考查有线端的比求出三角形面积的比，充分利用了等高的三角形，面积的比就等于底的比，从而得到三角形的面积．
连接AF、CG
∵BF：AF=1：3
∴设△BFH的面积=x，则△AFH的面积=3x
同理设△AHE的面积=y，则△CEH的面积=2y
由题意可得：△ABE的面积=4x+y=[1/3]
△ACF的面积=3y+3x=[3/4]
解二元一次方程组
4x+y=
1
3
3y+3x=
3
4得：x=[1/36]
即△BFH的面积=[1/36]
设△AEG的面积=a，则△CEG的面积=2a，设△CDG的面积=b，则△BDG的面积=4b
由题意可得：△ACD的面积=3a+b=[1/5]
△BCE的面积=5b+2a=[2/3]
解二元一次方程组
3a+b=
1
5
5b+2a=
2
3得：a=[1/39]
∴四边形AFHG的面积=△ABE的面积-△BFH的面积-△AEG的面积
=[1/3-
1
36-
1
39=
131
468]
故答案为：[131/468]．
点评：
本题考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
考点点评： 这道题是比较复杂的题目，考查等高三角形的面积比就等于底的比，也考查了二元一次方程组的解法，通过设位置参数帮助解题．