解题思路：由函数f（x）（x∈R）为奇函数可知，其反函数f-1（x）也为奇函数，然后利用函数奇偶性的定义判断函数F（x）的奇偶性．
∵f（x）（x∈R）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
∴f-1（-x）=-f-1（x）
∴F(−x)＝
2f(−x)−2f−1(−x)
2f(−x)+2f−1(−x)
=
2−f(x)−2−f−1(x)
2−f(x)+2−f−1(x)
=
1
2f(x)−
1
2f−1(x)
1
2f(x)+
1
2f−1(x)
=−
2f(x)−2f−1(x)
2f(x)+2f−1(x)=-F（x）
∴F（x）是奇函数．
故选A．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查函数单调性的判断，同时考查指数的运算性质，是基础题．