如图,已知AB为⊙O的直径,E是AB延长线上一点,点C是⊙O上的一点,连结EC、BC、AC,且∠BCE=∠BAC.

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  • 解题思路:(1)连结OC,根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°,而∠1=∠A,∠A=∠BCE,所以∠BCE=∠1,即∠BCE+∠2=90°,然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线;

    (2)设⊙O的半径为r,在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=5,则OE=5-r,OC=r,咋证明△EOC∽△EAD,利用相似比得到[OC/AD]=[EO/EA],即[r/3]=[5−r/5],然后解方程即可得到圆的半径.

    (1)证明:连结OC,如图,

    ∵AB是⊙O的直径

    ∴∠ACB=90°,即∠1+∠2=90°,

    ∵OC=OA,

    ∴∠1=∠A,

    又∵∠A=∠BCE,

    ∴∠BCE=∠1,

    ∴∠BCE+∠2=90°,

    ∴OC⊥EC,

    ∴EC是⊙O的切线;

    (2)设⊙O的半径为r,

    在Rt△ADE中,AD=3,ED=4,AE=

    AD2+DE2=5,

    ∴OE=5-r,OC=r

    ∵OC⊥EC,

    而AD⊥EC,

    ∴OC∥AD,

    ∴△EOC∽△EAD,

    ∴[OC/AD]=[EO/EA],即[r/3]=[5−r/5],

    ∴r=[15/8],

    即⊙O的半径为[15/8].

    点评:

    本题考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.