解题思路:(1)连结OC,根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°,而∠1=∠A,∠A=∠BCE,所以∠BCE=∠1,即∠BCE+∠2=90°,然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为r,在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=5,则OE=5-r,OC=r,咋证明△EOC∽△EAD,利用相似比得到[OC/AD]=[EO/EA],即[r/3]=[5−r/5],然后解方程即可得到圆的半径.
(1)证明:连结OC,如图,
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°,即∠1+∠2=90°,
∵OC=OA,
∴∠1=∠A,
又∵∠A=∠BCE,
∴∠BCE=∠1,
∴∠BCE+∠2=90°,
∴OC⊥EC,
∴EC是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为r,
在Rt△ADE中,AD=3,ED=4,AE=
AD2+DE2=5,
∴OE=5-r,OC=r
∵OC⊥EC,
而AD⊥EC,
∴OC∥AD,
∴△EOC∽△EAD,
∴[OC/AD]=[EO/EA],即[r/3]=[5−r/5],
∴r=[15/8],
即⊙O的半径为[15/8].
点评:
本题考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.