Question

定积分,摆线摆线x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)的一拱,y=0,绕直线y=2a,所围成的体积,怎样做

Answer 1

用垂直x轴的平面去截这个旋转体,可以得到一个环形的截面,这个环形的面积是:

S=π((2a)²-(2a-y)²)

所以体积微分

dV=Sdx=π(4a²-(2a-a(1-cost))²)d(a(t-sint))

=πa²(3-2cost-cos²t)a(1-cost)dt

积分区间为[0,2π]

所以V=∫[0,2π]πa²(3-2cost-cos²t)a(1-cost)dt=7π²a³