证明:因为A⊂X,B⊂X,所以:A⊆(A∪B) ,B⊆(A∪B) ,(A∪B) ⊆ X
则:(1)对于任意x∈A∪B,有f(x) ∈f(A∪B)
因为x∈A∪B,所以x∈A或x∈B
则:f(x)∈f(A)或f(x)∈f(B),即:f(x)∈[f(A)∪f(B) ]
所以:f(A∪B)⊆[f(A)∪f(B)]
(2)对于任意x∈A或x∈B,有f(x) ∈f(A)或f(x) ∈f(B),即:f(x)∈[f(A)∪f(B) ]
因为x∈A或x∈B,所以x∈A∪B
则:f(x)∈f(A∪B)
所以:[f(A)∪f(B)]⊆f(A∪B)
因此,综上所述有:f(A∪B)=[f(A)∪f(B)]成立.