Question

已知函数f（x）=x2-4，点A1（x1，0），过点A1作x轴的垂线交抛物线C：y=f（x）于点B1，过B1作抛物线C：

Answer 1

解题思路：（1）求出原函数的导函数，写出切线L的方程，取y=0求得x的值，从而得到xn+1与xn的关系式；（2）把an+1用xn+1表示，结合xn+1与xn的关系得到an+1与an的关系，由关系证出数列{an}是等比数列；（3）把x1=229代入a1=lgx1+2x1-2求出a1，由等比数列求出通项公式，然后利用错位相减法求数列{nan}的前n项和Sn．

（1）∵f（x）=x²-4，

∴f′（x）=2x，

∴切线L的方程为y-(xn2-4)=2xn(x-xn)，

令y=0，得x=

xn

2+

2

xn，

即xn+1=

xn

2+

2

xn；

（2）证明：∵

xn+1+2

xn+1-2=

xn

2+

2

xn+2

xn

2+

2

xn-2=

xn2+4+4xn

xn2+4-4xn=

(xn+2)2

(xn-2)2，

∴an+1=lg

xn+1+2

xn+1-2=2lg

xn+2

xn-2=2an，

∴数列{a_n}是首项为a₁公比为2的等比数列；

（3）∵x₁=[22/9]，

∴a₁=lg

x1+2

x1-2=lg

22

9+2

22

9-2=lg10=1，

∴an=2n-1．

∴S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1

2S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ

两式作差得：-S_n=1×2⁰+1×2¹+1×2²+…+1×2^n-1-n×2ⁿ=2ⁿ-1-n×2ⁿ．

∴S_n=n×2ⁿ+1-2ⁿ．

点评：

本题考点： 数列与解析几何的综合．

考点点评： 本题考查了数列与解析几何的综合，考查了数列递推式，训练了利用错位相减法求数列的和，属中高档题．