如图,已知抛物线y= 1 2 x 2 -2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交

1个回答

  • (1)配方,得y=

    1

    2 (x-2) 2-1,

    ∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为P(2,-1).(1分)

    取x=0代入y=

    1

    2 x 2-2x+1,

    得y=1,

    ∴点A的坐标是(0,1).

    由抛物线的对称性知,点A(0,1)与点B关于直线x=2对称,

    ∴点B的坐标是(4,1).(2分)

    设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),将B、P的坐标代入,

    1=4k+b

    -1=2k+b ,

    解得

    k=1

    b=-3 ∴

    ∴直线l的解析式为y=x-3.(3分)

    (2)连接AD交O′C于点E,

    ∵点D由点A沿O′C翻折后得到,

    ∴O′C垂直平分AD.

    由(1)知,点C的坐标为(0,-3),

    ∴在Rt△AO′C中,O′A=2,AC=4,

    ∴O′C=2

    5 .

    据面积关系,有

    1

    2 ×O′C×AE=

    1

    2 ×O′A×CA,

    ∴AE=

    4

    5

    5 ,AD=2AE=

    8

    5

    5 .

    作DF⊥AB于F,易证Rt△ADF ∽ Rt△CO′A,

    AF

    AC =

    DF

    O′A =

    AD

    O′C ,

    ∴AF=

    AD

    O′C •AC=

    16

    5 ,DF=

    AD

    O′C •O′A=

    8

    5 ,(5分)

    又∵OA=1,

    ∴点D的纵坐标为1-

    8

    5 =-

    3

    5 ,

    ∴点D的坐标为(

    16

    5 ,-

    3

    5 ).(6分)

    (3)显然,O′P ∥ AC,且O′为AB的中点,

    ∴点P是线段BC的中点,

    ∴S △DPC=S △DPB

    故要使S △DQC=S △DPB,只需S △DQC=S △DPC.(7分)

    过P作直线m与CD平行,则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S △DPC

    故m与抛物线的交点即符合条件的Q点.

    容易求得过点C(0,-3)、D(

    16

    5 ,-

    3

    5 )的直线的解析式为y=

    3

    4 x-3,

    据直线m的作法,可以求得直线m的解析式为y=

    3

    4 x-

    5

    2 .

    1

    2 x 2-2x+1=

    3

    4 x-

    5

    2 ,

    解得x 1=2,x 2=

    7

    2 ,

    代入y=

    3

    4 x-

    5

    2 ,得y 1=-1,y 2=

    1

    8 ,

    因此,抛物线上存在两点Q 1(2,-1)(即点P)和Q 2

    7

    2 ,

    1

    8 ),使得S △DQC=S △DPB.(9分)

    (仅求出一个符合条件的点Q的坐标,扣1分)