(1)配方,得y=
1
2 (x-2) 2-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为P(2,-1).(1分)
取x=0代入y=
1
2 x 2-2x+1,
得y=1,
∴点A的坐标是(0,1).
由抛物线的对称性知,点A(0,1)与点B关于直线x=2对称,
∴点B的坐标是(4,1).(2分)
设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),将B、P的坐标代入,
有
1=4k+b
-1=2k+b ,
解得
k=1
b=-3 ∴
∴直线l的解析式为y=x-3.(3分)
(2)连接AD交O′C于点E,
∵点D由点A沿O′C翻折后得到,
∴O′C垂直平分AD.
由(1)知,点C的坐标为(0,-3),
∴在Rt△AO′C中,O′A=2,AC=4,
∴O′C=2
5 .
据面积关系,有
1
2 ×O′C×AE=
1
2 ×O′A×CA,
∴AE=
4
5
5 ,AD=2AE=
8
5
5 .
作DF⊥AB于F,易证Rt△ADF ∽ Rt△CO′A,
∴
AF
AC =
DF
O′A =
AD
O′C ,
∴AF=
AD
O′C •AC=
16
5 ,DF=
AD
O′C •O′A=
8
5 ,(5分)
又∵OA=1,
∴点D的纵坐标为1-
8
5 =-
3
5 ,
∴点D的坐标为(
16
5 ,-
3
5 ).(6分)
(3)显然,O′P ∥ AC,且O′为AB的中点,
∴点P是线段BC的中点,
∴S △DPC=S △DPB.
故要使S △DQC=S △DPB,只需S △DQC=S △DPC.(7分)
过P作直线m与CD平行,则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S △DPC,
故m与抛物线的交点即符合条件的Q点.
容易求得过点C(0,-3)、D(
16
5 ,-
3
5 )的直线的解析式为y=
3
4 x-3,
据直线m的作法,可以求得直线m的解析式为y=
3
4 x-
5
2 .
令
1
2 x 2-2x+1=
3
4 x-
5
2 ,
解得x 1=2,x 2=
7
2 ,
代入y=
3
4 x-
5
2 ,得y 1=-1,y 2=
1
8 ,
因此,抛物线上存在两点Q 1(2,-1)(即点P)和Q 2(
7
2 ,
1
8 ),使得S △DQC=S △DPB.(9分)
(仅求出一个符合条件的点Q的坐标,扣1分)