1）由于抛物线经过A （-2,4）和点B （1,0）,则有：
{4m-4m+n=4m+2m+n=0,解得{m=-43n=4；
故m=-43,n=4．
（2）由（1）得：y=-43x2-83x+4=-43（x+1）2+163；
由A （-2,4）、B （1,0）,可得AB=（1+2）2+（0-4）2=5；
若四边形A A′B′B为菱形,则AB=BB′=5,即B′（6,0）；
故抛物线需向右平移5个单位,即：
y=-43（x+1-5）2+163=-43（x-4）2+163．
（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（-2,4）,B′（6,0）,
∴直线AB′：y=-12x+3；
当x=4时,y=1,故C（4,1）；
所以：AC=35,B′C=5,BC=10；
由（2）知：AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,则：
①∠B′CD=∠ABC,则△B′CD∽△ABC,可得：
B′CAB=B′DAC,即55=B′D35,B′D=3,
此时D（3,0）；
②∠B′DC=∠ABC,则△B′DC∽△ABC,可得：
B′CAC=B′DAB,即535=B′D5,B′D=53,
此时D（133,0）；
综上所述,存在符合条件的D点,且坐标为：D（3,0）或（133,0）．