Question

（2011•临川区模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）

Answer 1

（1）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），

把（0，-3）代入得：a=1，

∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3），

即：y=x²-2x-3，

配方得：y=（x-1）²-4，

∴顶点M的坐标是（1，-4），

答：该二次函数的解析式是y=x²-2x-3，顶点M的坐标是（1，-4）．

（2）把E（2，-3）代入y=kx得：k＝−

3

2，

∴正比例函数的解析式为y＝−

3

2x，

∵把正比例函数与二次函数的解析式组成方程组

y＝−

3

2x

y＝x2−2x−3，

-

3

2x=x²-2x-3，

即2x²-x-6=0，

（2x+3）（x-2）=0，

x₁=-

3

2，x₂=2，

当x₁=-

3

2时，y₁=-

3

2×（-

3

2）=

9

4，

当x₂=2时，y₂=-

3

2×2=-3，

∴

x1＝−

3

2

y1＝

9

4，

x2＝2

y2＝−3，

所以D(−

3

2，

9

4)，E（2，-3），

由图可知：当−

3

2＜x＜2时，二次函数的值小于正比例函数的值，

答：根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围是-

3

2＜x＜2．

（3）如图，存在四个这样的点P，

即：以A为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于P1(1，

6)，P2(1，−

6)两点，

以C为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于点P₃（1，0），

作线段AC的垂直平分线，交直线于点P₄（1，-1），

答：存在．点P的坐标是（1，

6）或（1，-

6）或（1，0）或（1，-1）．