两个人都是极有才华的天才,都是英年早逝.个人感觉,伽罗华的成就,更加有开创性.
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阿贝尔跟欧拉一样,是一个多产的数学家.阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性,等等.只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起.
阿贝尔是公认的椭圆函数论的奠基者.
他还证明了：一般的一个代数方程,如果方程的次数n≥5 ,那么此方程的根不可能由方程的系数组成的根式来表示.这是一个划时代的结论,它宣告了寻找方程求根公式时代的结束.
阿贝尔在数学方面的成就是多方面的.除了五次方程之外,他还研究了更广的一类代数方程,后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程.为了纪念他,后人称交换群为阿贝尔群.
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伽罗瓦 提出了群的概念,并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论.正是这套理论创立了抽象代数学,把代数学的研究推向了一个新的里程.正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论.它对数学分析、几何学的发展有很大影响,并标志着数学发展现代阶段的开始.他研究数学才五年,就有如此成就,是个绝顶的天才.
伽罗华理论是一种普遍性的理论,用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论,而且能指出一些特殊方程可解的条件,这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论.