解题思路：解：（Ⅰ）
由
b
n
＝
a
n
n
知，
b
n+1
＝
a
n+1
n+1
＝
a
n
n
+
1
2
n
＝
b
n
+
1
2
n
，所以
b
n+1
−
b
n
＝
1
2
n
，
b
2
−
b
1
＝
1
2
，
b
3
−
b
2
＝
1
2
2
，
b
4
−
b
3
＝
1
2
3
，
b
5
−
b
4
＝
1
2
4
，…，
b
n
−
b
n−1
＝
1
2
n−1
，用累加法能够求出数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）
a
n
＝(2−
1
2
n−1
)n
，an的前n项和Sn=2（1+2+
+n)−(1+
2
2
+
3
2
2
+
4
2
3
+
+
n
2
n−1
），令
T
n
＝1+
2
2
+
3
2
2
+
4
2
3
+
+
n
2
n−1
，用错位相减法能够求出Sn．
（Ⅰ）由bn＝
an
n知，bn+1＝
an+1
n+1＝
an
n+
1
2n＝bn+
1
2n，
∴bn+1−bn＝
1
2n（1分）
∴b2−b1＝
1
2，b3−b2＝
1
22，b4−b3＝
1
23，b5−b4＝
1
24，，bn−bn−1＝
1
2n−1（3分）
∴bn＝1+
1
2+
1
22+
1
23+
1
24++
1
2n−1＝2(1−
1
2n)（6分）
（Ⅱ）an＝(2−
1
2n−1)n，an的前n项和Sn=2（1+2++n)−(1+
2
2+
3
22+
4
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．
考点点评： 第（Ⅰ）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意累加法的运用；第（Ⅱ）考查数列前n项和的应用，解题时要注意错位相减法的应用．