解题思路：（1）一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）在m的范围内，找到最小奇数，然后把m的值代入一元二次方程 （m+1）x2+2mx+m-3=0中，再解出方程的解即可．
（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m-3=0 有两个不相等的实数根，
∴m+1≠0且△＞0．
∵△=（2m）2-4（m+1）（m-3）=4（2m+3），
∴2m+3＞0．
解得 m＞−
3
2．
∴m的取值范围是 m＞−
3
2且m≠-1．
（2）在m＞−
3
2且m≠-1的范围内，最小奇数m为1．
此时，方程化为x2+x-1=0．
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-1）=5，
∴x＝
−1±
5
2×1＝
−1±
5
2．
∴方程的根为 x1＝
−1+
5
2，x2＝
−1−
5
2．
点评：
本题考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法．
考点点评： 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．