解题思路:(1)假设直线AM与直线CN不是异面直线.分别排除AM∥CN与AM和CN是相交线两种情况,由此得到假设不成立,所以直线AM与直线CN为异面直线.
(2)连结DM,取DM中点O,连结CO,NO,则NO∥AM,所以∠CNO是异面直线AM与CN所成角,由此能求出异面直线AM与CN所成角的余弦值.
(1)假设直线AM与直线CN不是异面直线.
①若AM∥CN,则A,M,C,N四点共面于α,
∵直线BC上有两点M,C都在面α内,∴BC⊂α,
∵直线AD上有两点A,M都在面α内,∴AD⊂α,
∴ABCD是平面图形,与已知正四面体ABCD相矛盾,
∴直线AM和CN不是平行线.
②若AM和CN是相交线,交点为E,
∵AM⊂平面ABC,CN⊂平面ADC,
∴点E是平面ABC和平面ADC的公共点,
∴点E与点C重合,
∴点M与点C重合,
与已知条件M是BC中点矛盾,
∴AM和CN不是相交线.
∴假设不成立,
∴直线AM与直线CN为异面直线.
(2)连结DM,取DM中点O,连结CO,NO,
则NO∥AM,∴∠CNO是异面直线AM与CN所成角,
设正四面体的棱长为a,则CN=AM=DM=
a2−(
1
2a)2=
3
2a,
∴ON=
1
2AM=
3
4a,CO=
(
1
2a)2+(
3
4a)2=
7
4a,
∴cos∠CNO=
点评:
本题考点: 异面直线及其所成的角;异面直线的判定.
考点点评: 本题考查异面直线的证明,考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.