在正四面体ABCD中,M,N分别是BC,AD中点.

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  • 解题思路:(1)假设直线AM与直线CN不是异面直线.分别排除AM∥CN与AM和CN是相交线两种情况,由此得到假设不成立,所以直线AM与直线CN为异面直线.

    (2)连结DM,取DM中点O,连结CO,NO,则NO∥AM,所以∠CNO是异面直线AM与CN所成角,由此能求出异面直线AM与CN所成角的余弦值.

    (1)假设直线AM与直线CN不是异面直线.

    ①若AM∥CN,则A,M,C,N四点共面于α,

    ∵直线BC上有两点M,C都在面α内,∴BC⊂α,

    ∵直线AD上有两点A,M都在面α内,∴AD⊂α,

    ∴ABCD是平面图形,与已知正四面体ABCD相矛盾,

    ∴直线AM和CN不是平行线.

    ②若AM和CN是相交线,交点为E,

    ∵AM⊂平面ABC,CN⊂平面ADC,

    ∴点E是平面ABC和平面ADC的公共点,

    ∴点E与点C重合,

    ∴点M与点C重合,

    与已知条件M是BC中点矛盾,

    ∴AM和CN不是相交线.

    ∴假设不成立,

    ∴直线AM与直线CN为异面直线.

    (2)连结DM,取DM中点O,连结CO,NO,

    则NO∥AM,∴∠CNO是异面直线AM与CN所成角,

    设正四面体的棱长为a,则CN=AM=DM=

    a2−(

    1

    2a)2=

    3

    2a,

    ∴ON=

    1

    2AM=

    3

    4a,CO=

    (

    1

    2a)2+(

    3

    4a)2=

    7

    4a,

    ∴cos∠CNO=

    点评:

    本题考点: 异面直线及其所成的角;异面直线的判定.

    考点点评: 本题考查异面直线的证明,考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.