先让这两条异面直线交于一点： 联结AC、CM,取CM中点N,联结ON 由于O、N分别是AC、MC的中点,所以ON∥AM 则AM和OB1的所成角就是ON和OB1的所成角,即∠B1ON接下来求出△ONB1的三边,通过余弦定理可以解∠B1ON 设正方体的棱长为a (a>0) 先求OB1： 联结OB,则OB=AC/2=√2a/2 又BB1=a,所以OB1=√(OB^2+BB1^2)=√(a^2+(√2a/2)^2)=√6a/2 再求ON： 因为M是DD1中点,所以DM=a/2,又AD=a 所以AM=√(AD^2+MD^2)=√(a^2+(a/2)^2)=√5a/2 已证ON为△ACM的中位线 所以ON=AM/2=√5a/2/2=√5a/4
最后求B1N： 过N作NE⊥C1D1于E,联结B1N、B1E 由于NE⊥C1D1,D1M⊥C1D1,CC1⊥C1D1,即D1M∥NE∥CC1 所以D1E/EC1=MN/NC 由于已证N是MC中点,即MN=NC 所以D1E=EC,E是D1C1中点,EC1=D1C1/2=a/2,又B1C1=a 所以BE1=√(B1C1^2+C1E^2)=√(a^2+(a/2)^2)=√5a/2 M是DD1中点,MD=DD1/2=a/2 N、E分别是CM、C1D1中点 所以NE是梯形CC1D1M的中位线,EN=(MD1+CC1)/2=(a/2+a)/2=3a/4 由于CC1⊥B1C1,EN∥CC1,所以EN⊥B1C1,又EN⊥C1D1 所以EN⊥平面A1B1C1D1,又B1E在平面ABCD上 所以EN⊥EB1,有B1N=√(EB1^2+EN^2)=√(√5a/2)^2+(3a/4)^2)=√29a/4 最后在△ONB1中,发现B1O^2+ON^2=B1N^2余弦定理也不用了,直接用勾股定理得AM与OB1的所成角,即∠B1ON=90°