（1）见解析；（2）
.
试题分析：（1）过点D作DE ⊥ A 1C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，先证直线DE⊥面AA 1C 1C，再证BF⊥面AA 1C 1C，得D，E，F，B共面，再证DB∥EF ，从而有EF∥AA 1，易得所证结论；（2）法1：建立空间直角坐标系，找出所需点的坐标，分别设出面DA 1C和平面AA 1DB的法向量，并列方程计算出来，再利用向量的数量积计算两向量的夹角的余弦值，便可得
得值；法2：延长A 1D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA 1B 1B，过B作BH⊥A 1G于点H，连CH，证明∠CHB为二面角A －A 1D － C的平面角，在
CHB中，根据条件计算
的表达式，可得结论.
试题解析：（1）过点D作DE ⊥ A 1C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF.
∵面DA 1C⊥面AA 1C 1C且相交于A 1C，面DA 1C内的直线DE ⊥ A 1C，∴直线DE⊥面AA 1C 1C ，3分
又∵面BA C⊥面AA 1C 1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA 1C 1C
由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB 1∥面AA 1C 1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA 1，
又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝
AA 1＝
BB 1，所以D点为棱BB 1的中点； 6分
（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1＝ 2b ，AB＝BC ＝
，则D（0,0,b）, A 1(a,0,2b), C (0,a,0)， 7分
所以，
,8分
设面DA 1C的法向量为
则
可取
,
又可取平面AA 1DB的法向量
,
cos〈
〉
,10分
据题意有：
， 12分
解得：
＝
. 13分
解法2：延长A 1D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA 1B 1B，
过B作BH⊥A 1G于点H，连CH，由三垂线定理知：A 1G⊥CH，
由此知∠CHB为二面角A －A 1D － C的平面角； 9分
设AA 1＝ 2b ，AB＝BC ＝
；在直角三角形A 1A G中，易知AB ＝ BG.
在
DBG中，BH ＝
＝
， 10分
在
CHB中，tan∠CHB ＝
＝
，
据题意有：
＝ tan60 0 ＝