Question

设z是x,y的函数,且 xy=xf(z)+yψ(z) ,xf'(z)+yψ'(z)≠0 .证明:[x-ψ(z)]·(dz

Answer 1

xy=xf(z)+yψ(z)两边全微分

xdy+ydx=dxf(z)+xf'(z)dz+dyψ(z)+yψ'(z)dz

整理有

dz={[y-f(z)]/[xf'(z)+yψ'(z)]}dx+{[x-ψ(z)]/[xf'(z)+yψ'(z)]}dy

得到

dz/dx=[y-f(z)]/[xf'(z)+yψ'(z)]

dz/dy=[x-ψ(z)]/[xf'(z)+yψ'(z)]

其中xf'(z)+yψ'(z)≠0

所以:

[x-ψ(z)]·(dz/dx)=[y-f(z)]·(dz/dy)