Question

若AB=2,AC=√2BC,则三角形ABC的最大值是多少?

Answer 1

设,BC=m,有AC=√2m,S三角形ABC=S.

S三角形ABC=1/2*sinB*AB*BC=1/2*sinB*2*m=S,

sinB=S/m,

cosB=√(1-sin^2B)=√(1-S^2/m^2).

而,cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2*AB*BC),有

√(1-S^2/m^2)=(4-m^2)/4m.两边平方,得

16S^2=-(m^2-24m^2+16)

=-(m^2-12)^2+128,

当m^2=12时,S^2有最大值,

即,m=2√3时,

S^2=128/16=8,

S=2√2.

即,S三角形ABC的最大值为:2√2.