(2007•大连一模)图1、图2、图3是分别由两个公共顶点A的正三角形、正四边形和正五边形组成的图形,且其中一个正多边形

1个回答

  • 解题思路:(1)如图1,由等边三角形的性质,可以得出△ABB′≌△ACC′,就可以得出∠B=∠ACC′,就可以得出结论;

    (2)如图2,作C′G⊥BC交延长线于点G,就可以得出△ABB′≌△B′GC′,就可以得出∠B=∠G,BB′=GC′,AB=B′G,就可以得出∠GCC′的值,就可以得出结论;

    (3)如图3,延长BC到G,使CG=BB′,就可以得出△ABB′≌△B′GC′,就可以得出∠B=∠G,BB′=GC′,AB=B′G,就可以得出∠GCC′的值,就可以得出结论;

    (4)如图4,延长BC到G,使CG=BB′,就可以得出△ABB′≌△B′GC′,就可以得出∠B=∠G,BB′=GC′,AB=B′G,就可以得出∠GCC′的值,就可以得出当正多边形的边数为n时∠B′CC′=180°-[180°/n].

    (1)如图1,∵△ABC与△AB′C′是等边三角形,

    ∴AB=AC,AB′=AC′,∠BAC=∠B′AC′=∠ACB=60°.

    ∴∠BAC-∠2=∠B′AC′-∠2,

    ∴∠1=∠3.

    在△ABB′和△ACC′中

    AB=AC

    ∠1=∠3

    AB′=AC′,

    ∴△ABB′≌△ACC′(SAS),

    ∴∠B=∠ACC′=60°.

    ∴∠B′CC′=60°+60°=120°.

    故答案为:120°;

    (2)如图2,作C′G⊥BC交延长线于点G,

    ∴∠B′GC′=90°.

    ∵四边形ABCD与四边形AB′C′D′是正方形,

    ∴AB=BC,AB′=B′C′,∠B=∠B′=90°,

    ∴∠BAB′+∠AB′B=90°,∠AB′B+∠C′B′G=90°,∠B=∠B′GC′,

    ∴∠BAB′=∠C′B′G.

    在△ABB′和△B′GC′中,

    ∠B=∠B′GC′

    ∠BAB′=∠C′B′G

    AB′=B′C′,

    ∴ABB′≌△B′GC′(AAS),

    ∴∠B=∠G=90°,BB′=GC′,AB=B′G,

    ∴BC=B′G,

    ∴BC-B′C=B′G-B′C,

    ∴BB′=CG,

    ∴CG=C′G,

    ∴∠C′CG=45°,

    ∴∠B′CC′=135°

    答:∴∠B′CC′=135°;

    (3)如图3,延长BC到G,使CG=BB′,

    ∴CG+B′C=BB′+B′C,

    ∴BC=B′G.

    ∵多边形ABCDE和多边形AB′C′D′E′是正五边形,

    ∴AB=BC,AB′=B′C′,∠B=∠AB′C′=108°,

    ∴∠BAB′+∠BB′A=72°,∠BB′A+∠GB′C′=72°,AB=B′G,

    ∴∠BAB′=∠C′B′G.

    在△ABB′和△B′GC′中,

    AB=B′G

    ∠BAB′=∠C′B′G

    AB′=B′C′,

    ∴ABB′≌△B′GC′(AAS),

    ∴∠B=∠G=108,

    ∴BB′=GC′,

    ∴CG=C′G,

    ∴∠GCC′=36°,

    ∴∠B′CC′=144°.

    故答案为:144°;

    (4)如图4,延长BC到G,使CG=BB′,

    ∴CG+B′C=BB′+B′C,

    ∴BC=B′G.

    ∵多边形ABCM和多边形AB′C′M′是边数相同的正多边形,

    ∴AB=BC,AB′=B′C′,∠B=∠AB′C′=180°-

    点评:

    本题考点: 四边形综合题.

    考点点评: 本题考查了多边形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,正多边形的内角与外角的关系的运用,解答时运用正多边形的外角与内角的关系证明三角形全等是关键.