Question

微分方程问题.降阶法求通解：yy''-(y')^2-y'=0

Answer 1

令y'=p,则y"=dp/dx=(dp/dy)×(dy/dx)=p×(dp/dy)

所以原方程化为

yp×(dp/dy)-p²-p=0

即p[y×(dp/dy)-(p+1)]=0

解得,p=0或y×(dp/dy)=p+1

p=0时,可解得y=(C1)

y×(dp/dy)=p+1时

有,y/dy=(p+1)/dp

即,(1/y)dy=dp/(p+1)

lny=ln(p+1)+(C2)

即(C3)y=p+1=y'+1

所以,y'=(C3)y-1

解这个一阶微分方程得,

ln[(C3)y-1]=(C3)[x+(C4)]

解得,y＝Ae^{(C3)[x+(C4)]})＋B

（C1、C2、C3、C4、A、B为常数）