解题思路:因为a=
,e=
,所以c=1(2分)则b=1,即椭圆C的标准方程为
+y 2 =1(4分)(2)因为P(1,1),所以k PF =
,所以k OQ =-2,所以直线OQ的方程为y=-2x(6分)
又椭圆的左准线方程为x=-2,所以点Q(-2,4)(7分)
所以k PQ =-1,又k OP =1,所以k OP ⊥k PQ =-1,即OP⊥PQ,
故直线PQ与圆O相切(9分)
(3)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切(10分)
证明:设P(x 0 ,y 0 )(x 0 ≠±
),则y 0 2 =2-x 0 2 ,所以k PF =
,k OQ =-
,所以直线OQ的方程为y="-"
x(12分)所以点Q(-2,
(13分)所以k PQ =
-
,又k OP =
,所以k OP ⊥k PQ =-1,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切
已知圆O:
交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为
的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点P作直线PF的垂线交直线
于点Q.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ圆O相切;
(3)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.
(1)
+y 2="1" (2)因为P(1,1),所以k PF=
,所以k OQ=-2,所以直线OQ的方程为y=-2x.再由椭圆的左准线方程为x=-2,能够证明直线PQ与圆O相切.
(3) 直线PQ始终与圆O相切
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