已知圆O: 交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为 的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点

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  • 解题思路:因为a=

    ,e=

    ,所以c=1(2分)则b=1,即椭圆C的标准方程为

    +y 2 =1(4分)(2)因为P(1,1),所以k PF =

    ,所以k OQ =-2,所以直线OQ的方程为y=-2x(6分)

    又椭圆的左准线方程为x=-2,所以点Q(-2,4)(7分)

    所以k PQ =-1,又k OP =1,所以k OP ⊥k PQ =-1,即OP⊥PQ,

    故直线PQ与圆O相切(9分)

    (3)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切(10分)

    证明:设P(x 0 ,y 0 )(x 0 ≠±

    ),则y 0 2 =2-x 0 2 ,所以k PF =

    ,k OQ =-

    ,所以直线OQ的方程为y="-"

    x(12分)所以点Q(-2,

    (13分)所以k PQ =

    -

    ,又k OP =

    ,所以k OP ⊥k PQ =-1,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切

    已知圆O:

    交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为

    的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点P作直线PF的垂线交直线

    于点Q.

    (1)求椭圆C的标准方程;

    (2)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ圆O相切;

    (3)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.

    (1)

    +y 2="1" (2)因为P(1,1),所以k PF=

    ,所以k OQ=-2,所以直线OQ的方程为y=-2x.再由椭圆的左准线方程为x=-2,能够证明直线PQ与圆O相切.

    (3) 直线PQ始终与圆O相切

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