Question

设f（k）是满足不等式log 2 x+log 2 （3•2 k-1 -x）≥2k-1（k∈N*）的正整数x的个数．

Answer 1

（1）∵log ₂x+log ₂（3•2 ^k-1-x）≥2k-1

∴

x＞0

3•2 k-1 -x＞0

x( 3•2 k-1 -x)≥ 2 2k-1 ，

解得2 ^k-1≤x≤2 ^k，∴f（k）=2 ^k-2 ^k-1+1=2 ^k-1+1

（2）∵S _n=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+2 ²+…+2 ^n-1+n=2 ⁿ+n-1

∴S _n-P _n=2 ⁿ-n ²

n=1时，S ₁-P ₁=2-1=1＞0；n=2时，S ₂-P ₂=4-4=0

n=3时，S ₃-P ₃=8-9=-1＜0；n=4时，S ₄-P ₄=16-16=0

n=5时，S ₅-P ₅=32-25=7＞0；n=6时，S ₆-P ₆=64-36=28＞0

猜想，当n≥5时，S _n-P _n＞0

①当n=5时，由上可知S _n-P _n＞0

②假设n=k（k≥5）时，S _k-P _k＞0

当n=k+1时，S _k+1-P _k+1=2 ^k+1-（k+1） ²=2•2 ^k-k ²-2k-12（2 ^k-k ²）+k ²-2k-1

=2（S _k-P _k）+k ²-2k-1＞k ²-2k-1=k（k-2）-1≥5（5-2）-1=14＞0

∴当n=k+1时，S _k+1-P _k+1＞0成立

由①、②可知，对n≥5，n∈N*，S _n-P _n＞0成立即S _n＞P _n成立

由上分析可知，当n=1或n≥5时，S _n＞P _n

当n=2或n=4时，S _n=P _n

当n=3时，S _n＜P _n．