Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =n 2 ．数列{b n }为等比数列，且b 1 =1，b 4 =8

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a _n}的前n项和为S _n，且S _n=n ²，

∴当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=n ²-（n-1）2=2n-1．

当n=1时，a ₁=S ₁=1亦满足上式，故an=2n-1，（n∈N ^*）．

数列{b _n}为等比数列，设公比为q，

∵b ₁=1，b ₄=b ₁q ³=8，∴q=2．

∴b _n=2 ^n-1（n∈N ^*）．

（Ⅱ）证明：c _n=a _bn=2b _n-1=2 ⁿ-1．

∴T _n=c ₁+c ₂+c ₃+…c _n=（2 ¹-1）+（2 ²-1）+…+（2 ⁿ-1）=（2 ¹+2 ²+…2 ⁿ）-n=

2(1- 2 n )

1-2 -n

∴T _n=2 ⁿ⁺¹-2-n．

∵T _n-T _n-1=2 ⁿ-1＞0，∴T _n＞T _n-1，∴T _n＞T _n-1＞…＞T ₁=1．

∴T _n≥1．