令f(y)=ay^2+by+c
f(y)=0的两个解为y1,y2
由题得一个解y1=0,于是c=0
由韦达定理y1+y2=y2=-b/a
将(2,1)代入得a+b=2
由于a0,y2=-b/a>0
此抛物线与y轴所围成图形面积:
S=∫(ay^2+by)dy(0→-b/a)
=(a/3)y^3+(b/2)y^2(0→-b/a)
=b^3/(6a^2)
=4/(3a^2)-2/a+1-a/6
要求S最小值,则
S'=-8/(3a^3)+2/a^2-1/6=0
解得a=2(舍去),a=-4
S''=8/a^4-4/a^3>0
即当a=-4时S有极小值,也是最小值
a=-4,b=6,c=0
Smin=9/4