Question

已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：

Answer 1

解题思路：（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁x₂的值，最后验证斜率不存在时的情况．

（2）由抛物线的定义分别表示出|FA|，|FB|，代入

1

|FA|

+

1

|FB|

整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况．

（1）抛物线的焦点为F（[p/2]，0），设直线AB的方程为y=k（x-[p/2]）（k≠0），

由

y=k(x-

p

2)

y2=2px，消去y，得k²x²-p（k²+2）x+

k2p2

4=0，

由根与系数的关系，得x₁x₂=[p2/4]（定值）．

当AB⊥x轴时，x₁=x₂=[p/2]，x₁x₂=[p2/4]，也成立．

（2）由抛物线的定义，知|FA|=x₁+[p/2]，|FB|=x₂+[p/2]．

[1

|FA|+

1

|FB|=

1

x1+

p/2]+[1

x2+

p/2]=

x1+x2+p

x1•

p

2+x2•

p

2+x1x2+

p2

4=[2/p]（定值）．

当AB⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立．

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．在设直线方程时，一定不要忘了斜率不存在时的情况．