Question

设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为[5/4]．

Answer 1

解题思路：（1）根据点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为[5/4]，可求p的值，从而可得曲线C的方程；

（2）直线PQ的方程与抛物线方程联立，确定Q的坐标，进一步可得N的坐标，从而可得直线MN的斜率，利用导数求斜率，根据切线相等，即可求得k的值．

（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为[5/4]．

∴1+[p/2]=[5/4]，解得p=[1/2]．

所以曲线C的方程为x²=y．…（4分）

（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-[1/k]，0）

联立方程组

y＝k(x−1)+1

y＝x2，消去y得x²-kx+k-1=0

解得Q（k-1，（k-1）²）．…（6分）

所以得直线QN的方程为y-（k-1）²）=−

1

k(x−k+1)．

代入曲线x²=y，得x2+

1

kx−1+

1

k−(1−k)2＝0．

解得N（1−

1

k−k，(1−

1

k−k)2）．…（8分）

所以直线MN的斜率k_MN=

(1−

1

k−k)2

1−

1

k−k−1+

1

k=-

(1−

1

k−k)2

k．…（10分）

∵过点N的切线的斜率k′＝2(1−

1

k−k)．

∴由题意有-

(1−

1

k−k)2

k=2(1−

1

k−k)．

∴解得k＝

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查直线斜率的求解，正确求斜率是关键．