Question

有关线性代数的问题实对称矩阵A满足A^3+A^2+A=3I,则A=?

Answer 1

设λ是A的特征值

则λ^3+λ^2+λ-3是A^3+A^2+A-3E的特征值

而A^3+A^2+A-3E=0

所以 λ^3+λ^2+λ-3=0

即 (λ - 1)(λ^2 + 2λ + 3)=0

而实对称矩阵的特征值都是实数

所以λ=1.

再由A^3+A^2+A=3E知A可逆

所以A的全部特征值为1,1,...,1(n个)

所以 存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(1,...,1)=E

所以 A=PEP^-1=E.