设β=可由向量组α1,α2,.αm线性表示,且表示式唯一.试证α1,α2,...αm线性无关

1个回答

  • 证明:设 k1α1+k2α2+...+kmαm = 0.

    由已知β可由向量组α1,α2,...,αm线性表示

    故存在t1,t2,...,tm满足 β=t1α1+t2α2+...+tmαm

    所以

    β = t1α1+t2α2+...+tmαm + k1α1+k2α2+...+kmαm

    = (t1+k1)α1+(t2+k2)α2+...+(tm+km)αm

    又因为β由α1,α2,...,αm的表示的方法唯一

    所以 ti+ki = ti,i=1,2,...,m

    所以 ti = 0,i=1,2,...,m

    所以 α1,α2,...,αm线性无关.