Question

设{a n }是各项都为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1 =b 1 =1，a 3 +b 5 =21，a

Answer 1

（1）设等比数列{a _n}的公比为q，等差数列{b _n}的公差为d，

∵a ₁=b ₁=1，a ₃+b ₅=21，a ₅+b ₃=25．

∴q ²+（1+4d）=21，q ⁴+（1+2d）=25

解之得q=2，d=4（舍去负值）

∴a _n=a ₁q ^n-1=2 ^n-1，b _n=b ₁+（n-1）d=4n-3

即数列{a _n}的通项公式为a _n=2 ^n-1，{b _n}的通项公式b _n=4n-3；

（2）由（1）得{a _n}的前n项和S _n=

1- 2 n

1-2 =2 ⁿ-1，

∴S _n-b _n=2 ⁿ-1-（4n-3）=2 ⁿ-4n+2

因此，{S _n-b _n}的前n项和为

T _n=（2 ¹-4×1+2）+（2 ²-4×2+2）+…+（2 ⁿ-4×n+2）

=（2+2 ²+…+2 ⁿ）-4（1+2+…+n）+2n

=2 ⁿ⁺¹-2-4×

n(n+1)

2 +2n=2 ⁿ⁺¹-2n ²-2．