Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在边AB上取点D，在边AC取点E，AD=AE=1，连结DE并延长，与线段BC的

Answer 1

解题思路：（1）由∠B=30°∠ACB=90°得∠BAC=60°而AD=AE，所以∠AED=60°=∠CEP，则∠EPC=30°，于是可判断△BDP为等腰三角形，由于△AEP与△BDP相似，则∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，得到AE=EP=1，所以EC=[1/2]EP=[1/2]；

（2）过点D作DF⊥AC于点F，且设BD=BC=，根据勾股定理得到（1+x）²=3²+x²，解得x=4，即BD=BC=4，AB=5，证明△ADF∽△ABC，利用相似比计算出DF=[4/5]，AF=[3/5]，则EF=1-[3/5]=[2/5]，然后证明△EDF∽△EPC，利用相似比计算出CP=4，即可得到BP=8．

（1）∵∠B=30°∠ACB=90°，

∴∠BAC=60°，

∵AD=AE，

∴∠AED=60°=∠CEP，

∴∠EPC=30°，

∴△BDP为等腰三角形，

∵△AEP与△BDP相似，

∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，

∴AE=EP=1，

在Rt△ECP中，EC=[1/2]EP=[1/2]；

（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，且设BD=BC=x

，

∵∠ACB=90°

∴AB²=AC²+BC²，

而AD=AE=1，EC=2，

∴（1+x）²=3²+x²，解得x=4

即BD=BC=4，

∴AB=5，

∵DF∥BC，

∴△ADF∽△ABC，

∴[AD/AB＝

AF

AC＝

DF

BC]，即[1/5]=[AF/3]=[DF/4]，

∴DF=[4/5]，AF=[3/5]，

∴EF=1-[3/5]=[2/5]，

∵△EDF∽△EPC，

∴[DF/CP＝

EF

EC]，即

4

5

CP=

2

5

2，

∴CP=4，

∴BP=4+4=8．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了含30°的直角三角形三边的关系．