Question

p是圆x2+y2=16上一动点，q(-4,0)为定点，若点m为qp延长线上一点，且|pq|=|pm|，求点m轨迹方程

Answer 1

双曲线的渐近线为x/a±y/b=0(a＞0,b＞0),点P(√3/3,√6/3)在渐近线上,则 b/a=√2

即 l1的斜率为√2,PF⊥l1,设F(c,0),则 kPF=-√2/2=(√6/3-0)/(√3/3-c)

则 c=√3 且 c²=a²+b²,b/a=√2 ∴ a=1,b=√2,c=√3,双曲线方程为x²-y²/2=1

依题设,得 若直线AB的斜率不存在,方程为x=1,与双曲线只有一个公共点,不符

合题设条件,故斜率存在,设为k,AB的中点N在直线上,则AB的方程为 y=kx+2-k

代入双曲线方程,得 (k²-2)x²+2k(2-k)x+(k²-4k+6)=0 ①

设A(x1,y1),B(x2,y2),N为AB中点,则 x1+x2=-2k(2-k)/(k²-2)=2 k=1

方程①有两个不等二实根,将k=1代入检验知,k=1满足题设条件,AB方程为y=x+1