Question

（2010•上海）已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axnxn+1（a为常数）．

Answer 1

解题思路：（1）求出x_n+2，代入x_n+1化简后等于x_n，得到a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，当n=1时，由x₁的任意性得得到a的值即可；

（2）数列为递减数列，因为当a=1且x₁＞1得到x_n＞0，而x_n+1-x_n=

x

n

x

n

+1

-x_n=-

x

2

n

x

n

+1

＜0，所以得证；

（3）由a=2得到数列{x_n}满足x_n+1=

2

x

n

x

n

+1

，因为{x_n}是有穷数列，可以令x₁=-[1/7]得到即可．

（1）∵x_n+2=

axn+1

xn+1+1=

a•

axn

xn+1

axn

xn+1+ 1=

a2xn

axn+xn+1=x_n

∴a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，当n=1时，由x₁的任意性得

a2＝1

a+1＝0，∴a=-1．

（2）数列{x_n}是递减数列．

∵x₁＞0.xn+1＝

xn

xn+1

∴x_n＞0，n∈N^*又x_n+1-x_n=

xn

xn+1-x_n=-

x2n

xn+1＜0，n∈N^*，

故数列{x_n}是递减数列．

（3）满足条件的真命题为：数列{x_n}满足x_n+1=

2xn

xn+1，若x₁=-[1/7]，则{x_n}是有穷数列．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．