解题思路:要使不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•(m2-km+1)恒成立即要
|a+b|+|a−b|
|a|
的最小值大于(m2-km+1)的最大值,所以分别求出最值,得到关于k的不等式求出解集即可.
由|a+b|+|a-b|≥|a|•(m2-km+1),(a≠0)得:
|a+b|+|a−b|
|a|≥m2-km+1,则
左边=
|a+b|+|a−b|
|a|≥
|a+b+a−b|
|a|=2,设右边=g(m)=m2-km+1为对称轴为x=[k/2]的开口向上的抛物线,由m∈[1,2],
当[k/2]≤1即k≤2时,得到g(2)=4-2k+1为g(m)的最大值,即4-2k+1≤2,解得k≥[3/2],所以[3/2]≤k≤2;
当[k/2]≥2即k≥4时,g(1)=1-k+1为函数的最大值,即2-k≤2,得到k≥0,所以4≤k;
当1≤[k/2]≤2即2≤k≤4时,g(1)或g(2)为函数的最大值,[3/2]≤k或k≥0,所以2≤k≤4.
综上,k的取值范围为[[3/2],+∞)
故答案为[[3/2],+∞)
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.
考点点评: 考查学生理解函数恒成立的条件,以及掌握分类讨论的数学思想的能力,掌握解绝对值不等式的能力.