解题思路：（1）利用△ABC是等边三角形得出角，边关系，利用AD=DE，得出△CDE是等腰三角形，得出CD=CE，由线段关系可得出BD+AB=AE．
（2）在AB上取BH=BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，
（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．
证明：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD=CD，∠CAD=[1/2]∠BAC=30°，
∵AD=AE，
∴∠E=∠CAD=30°，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+CD=AB+BD．
（2）成立，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD即AH=DC，
∴∠BHD=60°，BD=DH，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E即∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB即∠AHD=∠DCE，
∵∠BAD=∠CDE，AD=DE，∠AHD=∠DCE，
在△AHD和△DCE，
∠BAD＝∠CDE
∠AHD＝∠DCE
AD＝DE，
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD，
（3）AB=BD+AE，
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB=∠DEF，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴∠DEF=∠DAF，
∵DF=DF，AF=EF，
在△AFD和△EFD中，
AD＝DE
DF＝DF
AF＝EF，
∴△AFD≌△EFD（SSS）
∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB=∠DEF，
∴∠FDB=∠DFB，
∴DB=BF，
∵AB=AF+FB，
∴AB=BD+AE．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
考点点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．