解题思路：根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2014÷10=201…4，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，
即线段BC的中间位置，点的坐标为（-1，-1）．
故答案为：（-1，-1）．
点评：
本题考点： 规律型：点的坐标．
考点点评： 本题主要考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．