给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.

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  • 解题思路:设P(x0,y0)代入抛物线方程,进而表示出|PA|,分别看当0<a<1和a≥1时,根据函数的单调性求得d的最小值.

    设P(x0,y0)(x0≥0),则y02=2x0

    ∴d=|PA|=

    (x0−a)2+

    y20

    =

    (x0−a)2+2x0=

    [x0+(1−a)]2+2a−1.

    ∵a>0,x0≥0,

    ∴(1)当0<a<1时,1-a>0,

    此时有x0=0时,

    dmin=

    (1−a)2+2a−1=a.

    (2)当a≥1时,1-a≤0,

    此时有x0=a-1时,

    dmin=

    2a−1.

    点评:

    本题考点: 抛物线的应用.

    考点点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生对抛物线与函数问题的综合理解.