如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D

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  • 解题思路:(1)连接OC,根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC,根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP,推出OC∥AP,得出OC⊥CD,根据切线的判定推出即可;

    (2)过O作OM⊥AB于M,得出矩形OMDC,推出OM=CD,OC=AM+AD,求出AM的长,利用勾股定理求出AD的长,设圆的半径为x,则AM=x-AD,再根据勾股定理列方程,求出x的值即可求出⊙O的半径,从而求出⊙O的直径的AE.

    (1)证明:连接OC.

    ∵OC=OA,

    ∴∠OAC=∠OCA.

    ∵AC平分∠PAE,

    ∴∠DAC=∠OAC,

    ∴∠DAC=∠OCA,

    ∴AD∥OC.

    ∵CD⊥PA,

    ∴∠ADC=∠OCD=90°,

    即 CD⊥OC,点C在⊙O上,

    ∴CD是⊙O的切线.

    (2)过O作OM⊥AB于M.即∠OMA=90°,

    ∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,

    ∴四边形DMOC是矩形,

    ∴OC=DM,OM=CD=4.

    ∵DC=4,AC=5,

    ∴AD=3,

    设圆的半径为x,则AM=x-AD=x-3,

    ∵在Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得:AO2=AM2+OM2

    ∴x2=(x-3)2+42

    ∴x=[25/6]

    ∴⊙O的半径是[25/6],

    ∴⊙O的直径的AE=2×[25/6]=[25/3].

    点评:

    本题考点: 切线的判定;角平分线的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了矩形的性质和判定,勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,用了方程思想.