解题思路:(1)连接OC,根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC,根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP,推出OC∥AP,得出OC⊥CD,根据切线的判定推出即可;
(2)过O作OM⊥AB于M,得出矩形OMDC,推出OM=CD,OC=AM+AD,求出AM的长,利用勾股定理求出AD的长,设圆的半径为x,则AM=x-AD,再根据勾股定理列方程,求出x的值即可求出⊙O的半径,从而求出⊙O的直径的AE.
(1)证明:连接OC.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,
∴∠ADC=∠OCD=90°,
即 CD⊥OC,点C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
(2)过O作OM⊥AB于M.即∠OMA=90°,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,
∴四边形DMOC是矩形,
∴OC=DM,OM=CD=4.
∵DC=4,AC=5,
∴AD=3,
设圆的半径为x,则AM=x-AD=x-3,
∵在Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得:AO2=AM2+OM2.
∴x2=(x-3)2+42,
∴x=[25/6]
∴⊙O的半径是[25/6],
∴⊙O的直径的AE=2×[25/6]=[25/3].
点评:
本题考点: 切线的判定;角平分线的性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题考查了矩形的性质和判定,勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,用了方程思想.