Question

设关于x的方程2x 2 -ax-2=0的两根为α、β（α＜β），函数 f(x)= 4x-a x 2 +1 ．

Answer 1

（1） f(α)=

-8

a 2 +16-a ，f(β)=

8

a 2 +16+a ，f(α)•f(β)=-4 ．

（2）设Φ（x）=2x ²-ax-2，则当a＜x＜β时，Φ（x）＜0. f′(x)=

(4x-a)′( x 2 +1)-(4x-a)( x 2 +1)′

( x 2 +1) 2 =

4( x 2 +1)-2x(4x-a)

( x 2 +1) 2 =-

2(2 x 2 -ax+2)

( x 2 +1) 2 =-

2Φ(x)

( x 2 +1) 2 ＞0

∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．

（3）函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，

∵|f（α）•f（β）|=4，

∴当且仅当f（β）=-f（α）=2时，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此时a=0，f（β）=2．