Question

（2014•长春一模）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集为M．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；

（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）²-（4+ab）²＜0，即可得到结论．

（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x-1|=

−2x，x＜−1

2，−1≤x≤1

2x，x＞1

当x＜-1时，由-2x＜4，得-2＜x＜-1；

当-1≤x≤1时，f（x）=2＜4；

当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．

所以M=（-2，2）．…（5分）

（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即-2＜a，b＜2，

∵4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）=（a²-4）（4-b²）＜0，

∴4（a+b）²＜（4+ab）²，

∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）

点评：

本题考点： 不等式的证明；带绝对值的函数．

考点点评： 本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．