已知关于x的一元二次方程(3a−1)x2−ax+14=0有两个相等的实数根,求代数式a2−2a+1+1a的值.

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  • 解题思路:由关于x的一元二次方程

    (3a−1)

    x

    2

    −ax+

    1

    4

    =0

    有两个相等的实数根,则有3a-1≠0,且△=0,即△=(-a)2-4×(3a-1)×[1/4]=0,得a2-3a+1=0,a2=3a-1,然后代入所求的代数式进行化简计算.

    ∵关于x的一元二次方程(3a−1)x2−ax+

    1

    4=0有两个相等的实数根,

    ∴3a-1≠0,且△=0,即△=(-a)2-4×(3a-1)×[1/4]=0,

    ∴a2-3a+1=0,

    把a2=3a-1代入代数式,

    所以原式=3a-1-2a+1+[1/a],

    =a+[1/a],

    =

    a 2+1

    a,

    =[3a−1+1/a],

    =3.

    点评:

    本题考点: 根的判别式;代数式求值;一元二次方程的定义.

    考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了整体代入的思想方法的运用.