设函数fn( θ )=sinnθ+( −1 )ncosnθ,0≤θ≤π4,其中n

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  • 解题思路:(1)设 θ1<θ2,θ1、θ2∈[0,[π/4]],根据三角函数的特点判断f1(θ1)-f1(θ2)=(sinθ1-sinθ2)+(cosθ2-cosθ1)<0,从而得出结论;

    (2)首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ,同理原式右边也等于cos22θ,从而证明结论.

    (3)当n=1时,f1(θ)在[0,[π/4]]上单调递增,求出最值;当n=3时,f3(θ)在[0,[π/4]]上为单调递增,求出最值;

    正奇数n≥5的情形,首先根据定义判断出函数的单调递增,从而得出fn(θ)的最大值为

    f

    n

    (

    π

    4

    )

    =0,最小值为fn(0)=-1.

    (Ⅰ)f1(θ)、f3(θ)在[ 0,

    π

    4 ]上均为单调递增的函数.…(1分)

    设 θ1<θ2,θ1、θ2∈[0,[π/4]],则sinθ1<sinθ2,cosθ2<cosθ1

    ∴f1(θ1)-f1(θ2)=(sinθ1-sinθ2)+(cosθ2-cosθ1)<0,

    ∴f1(θ1)<f1(θ2),

    ∴函数f1(θ)在[ 0,

    π

    4 ]上单调递增;

    同理f3(θ1)-f3(θ2)=(sin3θ1-sin3θ2)+(cos3θ2-cos3θ1)<0,

    ∴f3(θ1)<f3(θ2),

    ∴函数f3(θ)在[ 0,

    π

    4 ]上单调递增;…(3分)

    (Ⅱ)∵原式左边=2(sin6θ+cos6θ)-(sin4θ+cos4θ)

    =2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θ•cos2θ+cos4θ)-(sin4θ+cos4θ)

    =1-sin22θ=cos22θ.…(5分)

    又∵原式右边=(cos2θ-sin2θ)2=cos22θ,

    ∴2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ).…(6分)

    (Ⅲ)当n=1时,函数f1(θ)在[ 0,

    π

    4 ]上单调递增,

    ∴f1(θ)的最大值为f1(

    π

    4)=0,最小值为f1(0)=-1,

    当n=2时,f2(θ)=1,

    ∴函数f2(θ)的最大、最小值均为1;

    当n=3时,函数f3(θ)在[ 0,

    π

    4 ]上为单调递增,

    ∴f3(θ)的最大值为f3(

    π

    4)=0,最小值为f3(0)=-1;

    当n=4时,函数f4(θ)=1−

    1

    2sin22θ在[ 0,

    π

    4 ]上单调递减,

    ∴f4(θ)的最大值为f4(0)=1,最小值为f4(

    π

    4)=

    1

    2;

    下面讨论正整数n≥5的情形:

    当n为奇数时,对任意θ1、θ2∈[ 0,

    π

    4 ]且θ1<θ2

    ∵fn(θ1)-fn(θ2)=(sinnθ1-sinnθ2)+(cosnθ2-cosnθ1),

    以及 0≤sinθ1<sinθ2<1,0<cosθ2<cosθ1≤1,

    ∴sinnθ1<sinnθ2,cosnθ2<cosnθ1,从而 fn(θ1)<fn(θ2),

    ∴fn(θ)在[ 0,

    π

    4 ]上为单调递增,则fn(θ)的最大值为fn(

    π

    4)=0,最小值为f4(0)=-1;

    当n为偶数时,一方面有 fn(θ)=sinnθ+cosnθ≤sin2θ+cos2θ=1=fn(0),

    另一方面,由于对任意正整数l≥2,有2f2l(θ)-f2l-2(θ)=(cos2l-2θ-sin2l-2θ)(cos2θ-sin2θ)≥0,

    点评:

    本题考点: 正弦函数的单调性;正弦函数的定义域和值域.

    考点点评: 本题考查了三角函数的最值,函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系,一般根据定义判断函数的单调性,是难题.