解题思路:(1)设 θ1<θ2,θ1、θ2∈[0,[π/4]],根据三角函数的特点判断f1(θ1)-f1(θ2)=(sinθ1-sinθ2)+(cosθ2-cosθ1)<0,从而得出结论;
(2)首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos22θ,同理原式右边也等于cos22θ,从而证明结论.
(3)当n=1时,f1(θ)在[0,[π/4]]上单调递增,求出最值;当n=3时,f3(θ)在[0,[π/4]]上为单调递增,求出最值;
正奇数n≥5的情形,首先根据定义判断出函数的单调递增,从而得出fn(θ)的最大值为
f
n
(
π
4
)
=0,最小值为fn(0)=-1.
(Ⅰ)f1(θ)、f3(θ)在[ 0,
π
4 ]上均为单调递增的函数.…(1分)
设 θ1<θ2,θ1、θ2∈[0,[π/4]],则sinθ1<sinθ2,cosθ2<cosθ1,
∴f1(θ1)-f1(θ2)=(sinθ1-sinθ2)+(cosθ2-cosθ1)<0,
∴f1(θ1)<f1(θ2),
∴函数f1(θ)在[ 0,
π
4 ]上单调递增;
同理f3(θ1)-f3(θ2)=(sin3θ1-sin3θ2)+(cos3θ2-cos3θ1)<0,
∴f3(θ1)<f3(θ2),
∴函数f3(θ)在[ 0,
π
4 ]上单调递增;…(3分)
(Ⅱ)∵原式左边=2(sin6θ+cos6θ)-(sin4θ+cos4θ)
=2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θ•cos2θ+cos4θ)-(sin4θ+cos4θ)
=1-sin22θ=cos22θ.…(5分)
又∵原式右边=(cos2θ-sin2θ)2=cos22θ,
∴2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ).…(6分)
(Ⅲ)当n=1时,函数f1(θ)在[ 0,
π
4 ]上单调递增,
∴f1(θ)的最大值为f1(
π
4)=0,最小值为f1(0)=-1,
当n=2时,f2(θ)=1,
∴函数f2(θ)的最大、最小值均为1;
当n=3时,函数f3(θ)在[ 0,
π
4 ]上为单调递增,
∴f3(θ)的最大值为f3(
π
4)=0,最小值为f3(0)=-1;
当n=4时,函数f4(θ)=1−
1
2sin22θ在[ 0,
π
4 ]上单调递减,
∴f4(θ)的最大值为f4(0)=1,最小值为f4(
π
4)=
1
2;
下面讨论正整数n≥5的情形:
当n为奇数时,对任意θ1、θ2∈[ 0,
π
4 ]且θ1<θ2,
∵fn(θ1)-fn(θ2)=(sinnθ1-sinnθ2)+(cosnθ2-cosnθ1),
以及 0≤sinθ1<sinθ2<1,0<cosθ2<cosθ1≤1,
∴sinnθ1<sinnθ2,cosnθ2<cosnθ1,从而 fn(θ1)<fn(θ2),
∴fn(θ)在[ 0,
π
4 ]上为单调递增,则fn(θ)的最大值为fn(
π
4)=0,最小值为f4(0)=-1;
当n为偶数时,一方面有 fn(θ)=sinnθ+cosnθ≤sin2θ+cos2θ=1=fn(0),
另一方面,由于对任意正整数l≥2,有2f2l(θ)-f2l-2(θ)=(cos2l-2θ-sin2l-2θ)(cos2θ-sin2θ)≥0,
∴
点评:
本题考点: 正弦函数的单调性;正弦函数的定义域和值域.
考点点评: 本题考查了三角函数的最值,函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系,一般根据定义判断函数的单调性,是难题.