解题思路：（1）根据奇偶性的定义分a=0与a≠0两种情况判断即可；
（2）利用函数单调性的定义，分析a满足的条件，再求解即可．
（1）当a=0时，f（x）=x2，函数是偶函数；
当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设x2＞x1≥2，f（x1）-f（x2）=x12+
a
x1-x22-
a
x2=
x1−x2
x1x2[x1x2（x1+x2）-a]，
∵x2＞x1≥2，∴x1-x2＜0，x1x2＞4，x1+x2＞4，
∴x1x2（x1+x2）＞16，
∵若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，即f（x1）-f（x2）＜0，∴x1x2（x1+x2）-a＞0恒成立，
∴a＜x1x2（x1+x2）恒成立，
又∵x1x2（x1+x2）＞16，
∴a≤16
故实数a的取值范围是a≤16．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性及单调性的判断与证明．