Question

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,边长是a,PD=a,PA=PC= 根号2倍的a,

Answer 1

1、底面ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD=a,

PD=a,AD^2+PD^2=2a^2,AP^2=2a^2,

根据勾股逆定理,

△APD是RT△,

同理△PCD是RT△,

AD∩CD=D,

∴PD⊥平面ABCD.

2、连结底面对角线AC、BD,

则AC⊥BD,

由前所述,PD⊥平面ABCD,

∴PB⊥AC.

∴AC⊥平面PBD

∴点A到平面PBD的距离=AC/2=√2a/2

3、过PB中点F作FO⊥底面ABCD,垂足O,则O是对角线AC和BD交点,连结AF,

PB=√3a,则〈PAB=90度,〈PCB=90度,

S△PAB=√2a*a/2=√2a^2/2,

S△FAB==√2a^2/4,

S△FOB=S△PBD/4=√2a*a/2/4=√2a*a/8,

设二面角A-PB-D平面角为θ,

S△FOB=S△FAB*cosθ,

cosθ==(√2a*a/8)/(√2a^2/4)=1/2,

θ=60度.

二面角A—PB—D为60度.

4、由第2小题回答中可知 ：AC⊥平面PBD

所以平面PAC⊥平面PBD

5、PD⊥平面ABCD,故PD⊥BC

因为CD⊥BC,故BC⊥平面PCD

所以BC⊥PC

所以二面角P-BC-D的大小=角PCD=45°