Question

设0＜a＜1，函数f（x）=loga[x−3/x+3]．

Answer 1

解题思路：（1）利用真数大于0，可得f（x）的定义域，判断内、外函数的单调性，即可判断f（x）的单调性；

（2）充分利用函数与方程的思想，利用函数的单调性和最值将问题转化为方程在某区间上有解，从而得到参数a的范围．

（1）由[x−3/x+3]＞0，可得f（x）的定义域（-∞，-3）∪（3，+∞）；

∵y=[x−3/x+3]在（-∞，-3）、（3，+∞）上单调增，0＜a＜1，

∴f（x）=log_a[x−3/x+3]在（-∞，-3）、（3，+∞）上单调减；

（2）∵f（x）定义域为[m，n）（m＜n）时，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]，

∴f（m）=1+log_a（m-1）]，f（n）=1+log_a（n-1），

∵m＞1，∴m＞3．

∴m，n是方程f（x）=1+log_a（x-1）在区间（3，+∞）内的两个不相等的实根，

即m，n是关于x的方程ax²+（2a-1）x+3（1-a）=0在区间（3，+∞）内的两个不相等的实根，

∴

△＞0

−

2a−1

2a＞3

9a+3(2a−1)+3(1−a)＞0，∴0＜a＜[1/8]．

故实数a的取值范围是区间（0，[1/8]）．

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题充分考查了对数函数的单调性、对数函数的值域与最值，考查转化的思想，属于中档题．