已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是______

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  • 解题思路:先求导函数,根据函数在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,故导函数为0的方程有不等的实数根,可求实数a的取值范围

    求导函数:f′(x)=3x2-2ax+3a,

    ∵函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,

    ∴△=4a2-36a>0,∴a<0或a>9

    故答案为(-∞,0)∪(9,+∞)

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题的考点是函数在某点取得极值的条件,主要考查学生利用导数研究函数极值的能力,关键是将问题转化为导函数为0的方程有不等的实数根.