解题思路：（Ⅰ）当a=2，b=[1/2]时，
f
′
(x)＝
2
x
−x
，由此利用导数性质能求出函数f（x）在区间[[1/e]，e]上的最大值．
（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，[3/2]]，x∈（1，e2]都成立，则m≤alnx-x，对所有的a∈[0，[3/2]]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx-x，m≤h（a）min，由此利用导数性质能求出实数m的取值范围．
（Ⅰ）当a=2，b=[1/2]时，f（x）=2lnx-[1/2]x2，
f′(x)=
2
x-x，
由f′（x）=0，得x=
2，或x=-
2（舍），
∵f（[1/e]）=-2-[1
2e2，
f（
2）=2ln
2-
1/2×2=ln2-1，
f（e）=2-
1
2e2，
∴函数f（x）在区间[
1
e]，e]上的最大值为f（
2）=ln2-1．
（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，[3/2]]，x∈（1，e2]都成立，
则alnx≥m+x对所有的a∈[0，[3/2]]，x∈（1，e2]都成立，
即m≤alnx-x，对所有的a∈[0，[3/2]]，x∈（1，e2]都成立，
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min
∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，[3/2]]上单调递增
∴h（a）min=h（0）=-x，∴m≤-x对所有的x∈（1，e2]都成立，
∵1＜x≤e2，
∴-e2≤-x＜-1，∴m≤（-x）min=-e2．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查实数取值范围的求法，考查函数在闭区间上最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．