Question

设点P是抛物线C:x^2=2py在第一象限内的任意一点,过P作抛物线C的切线L交X轴于点M,F为抛物线C的焦点,点Q

Answer 1

曲线C：x²=2py,焦点F(0,p/2)；

设P点坐标为P(n,n²/(2p)),则 y'=n/p；

直线PM方程：y-n²/(2p)=(n/p)(x-n),与 x 轴交点 M(n/2,0)；

向量PM=(1/2)(PF+PQ),则M在FQ连线的中点：Xq=2*Xm=n,Yq=-Yf=-p/2,∴ Q(n,-p/2)；

因为△PGQ是等边三角形,故有 PQ²=PF²=FQ²；

由于 S△PGQ=(√3/2)PF²/2=(√3/4)PF²=√3,∴ PF=PQ=FQ=1/2；

PQ²=[n²/(2p)-(-p/2)]²=(n²+p²)²/(2p)²=(1/2)²,n²+p²=p；

FQ²=n²+p²=(1/2)²,与上式对比可知,p=(1/2)²=1/4；