Question

已知{a n }是等差数列，公差d＞0，前n项和为S n 且满足a 3 •a 4 =117，a 2 +a 5 =22．对

Answer 1

（1）∵{a _n}为等差数列，∴a ₃+a ₄=22…（1分）

由a ₃•a ₄=117，a ₃+a ₄=22知a ₃，a ₄是方程x ²-22x+117=0的两个根

又d＞0

∴a ₃=9，a ₄=13 …（2分）

∴d=4，a ₁=1

∴a _n=1+（n-1）×4=4n-3…（3分）

∴ S n =

a 1 + a n

2 =

n(1+4n-3)

2 =n(2n-1) …（4分）

∴ b n =

n(2n-1)

n+c

∵数列{b _n}也是等差数列

∴2b ₂=b ₁+b ₃…（6分）

解得： c=-

1

2 或0（舍）

当 c=-

1

2 时，b _n=2n满足题意． …（7分）

（2）∵ f(n)=

b n

(n+36) b n+1 =

2n

(n+36)2(n+1) =

n

n 2 +37n+36 =

1

n+

36

n +37 ≤

1

2

36 +37 =

1

49

当且仅当 n=

36

n 即n=6时取等号．

∴f（n）的最大值为

1

49 ．…（14分）