解题思路：首先取得最小值的点的切线一定和3x+4y+12=0平行，所以设3x+4y+k=0是抛物线的切线，然后将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合方程有两个等根利用根的判别式得出p，k的关系工，最后利用距离的最小值为1即可求得P值，从而解决问题
设3x+4y+k=0是抛物线的切线
则：x=-[1/3]（4y+k）
y2=-2p（4y+k）×[1/3]
即3y2+8py+2pk=0
判别式△=64p2-24pk=0
因为p≠0，所以，k=[8/3]p
3x+4y+[8/3]p=0与3x+4y+12=0的距离为：[1/5]|-12+[8/3]p|
所以：[1/5]|-12+[8/3]p|=1
p=[21/8]或[51/8]，
故答案为：[21/8]或[51/8]．
点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．
考点点评： 本小题主要考查抛物线的简单性质、切线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．