已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足xf′(x)+2f(x)=[lnx/x],且f(e)=[1/2e],则f(x)

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  • 解题思路:由xf′(x)+2f(x)=

    lnx/x],得:x2f′(x)+2xf(x)=lnx,即[x2f(x)]′=lnx,故x2f(x)=xlnx-x+c,由f(e)=[1/2e],求出c值,进而利用导数法分析出f′(x)≤0恒成立,进而可得函数的单调性.

    ∵xf′(x)+2f(x)=[lnx/x],

    ∴x2f′(x)+2xf(x)=lnx

    ∴[x2f(x)]′=lnx,

    ∴x2f(x)=xlnx-x+c,

    将x=e代入可得:

    e2f(e)=elne-e+c,

    ∵f(e)=[1/2e],

    ∴c=[e/2]

    ∴x2f(x)=xlnx-x+[e/2],

    ∴f(x)=[2xlnx−2x+e

    2x2

    ∴f′(x)=

    4x2lnx−8x2lnx+8x3−4ex

    4x4=

    −xlnx+2x−e

    x3,

    令g(x)=-xlnx+2x-e,

    则g′(x)=1-lnx,

    当x∈(0,e)时,g′(x)>0,x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,

    故当x=e时,g(x)取最大值0,

    故g(x)≤0恒成立,

    故f′(x)≤0恒成立,

    ∴f(x)是减函数.

    故选:C

    点评:

    本题考点: 导数的运算.

    考点点评: 本题考查的知识点是导数的运算,导数在求函数最值时的应用,是导数的综合应用,难度大,运算量大,属于难题.

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